Matematica fra scuola e università

Quando un matematico incontra un'equazione per cui non esiste una “formula risolutiva”, può solo calcolare approssimazioni successive della soluzione, costruendo una “successione” di valori sempre più precisi per la quantità incognita. Come costruirne una, come capire se sta “convergendo” alla soluzione che cerca e come capire quando abbiamo un valore sufficientemente preciso sarà il tema centrale di questo PCTO.
Per una settimana entrerai a far parte di una immaginaria società di consulenza e ti verrà chiesto di risolvere diversi problemi posti dai nostri (altrettanto immaginari) clienti, che includono progettisti pasticcioni, designer fantasiosi, giudici speranzosi, commercialisti distratti, gestori di improbabili reti GPS, etc. Al mattino discuteremo assieme di come trattare matematicamente i problemi di giornata, prima di lasciarti tempo per affrontarli con un gruppo di compagni, coadiuvato dai nostri tutor. Al termine di ciascuna giornata illustrerete agli altri gruppi la vostra soluzione.
Al termine avrai imparato tecniche per la soluzione (esatta o approssimata) di equazioni polinomiali di grado alto, ma soprattutto a modellizzare matematicamente problemi reali, a collaborare in gruppo alla soluzione di problemi matematici, e a relazionare con linguaggio adeguato sulle tecniche usate e sulle soluzioni ottenute. Avrai a disposizione e imparerai ad usare il software python con una interfaccia per sviluppare contemporaneamente software e documenti.

Le reti complesse sono caratterizzate dalla capacità di modellizzare reti del mondo reale di notevoli dimensioni come il web, le reti energetiche, legami chimici, contatti sociali, ecc. Problemi classici sono ad esempio determinare gli elementi più importanti o le comunità (cluster) presenti nella rete che possono essere risolti con metodi matematici rappresentando la rete come un grafo.
L'attività proposta prevede l'introduzione dei grafi come oggetto matematico, con la definizione e il calcolo delle quantità di interesse. In particolare il grafo sarà rappresentato mediante la matrice di adiacenza e quindi le operazioni su di esso si tradurranno in operazioni su matrici e vettori. Si calcoleranno alcuni indici di centralità classici come il page-rank di Google per determinare i nodi più importanti della rete.
I metodi numerici proposti saranno implementati in modo semplice con l'ambiente Octave, avendo la possibilità di analizzare anche la complessità computazionale (il tempo di attesa del risultato) di tali metodi. Infine, gli studenti, suddivisi in gruppi, avranno la possibilità di modellizzare e risolvere problemi reali con gli strumenti acquisiti, e di discutere la soluzione proposta con i tutor, confrontandosi con gli altri gruppi.

Tutti sanno che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, o che per un punto esterno a una retta passa una sola retta parallela a quella data. Queste cose furono dimostrate da Euclide (IV-III secolo a.C.) nei suoi Elementi. Il suo famigerato V postulato, quello delle parallele, venne questionato fin da subito: qualcuno proponeva postulati alternativi al V, qualcuno provava a dedurlo dagli altri quattro. Dopo un viaggio appassionante, di oltre 2000 anni, arriviamo al 1830, quando Gauss, Bolyai e Lobacevski provarono l'esistenza di geometrie non euclidee, nelle quali valgono i primi quattro postulati ma non il V. Vedremo che, in queste geometrie, per un punto passano infinite parallele a una retta data, o che la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180°!

È noto come il gioco abbia un ruolo fondamentale nella crescita e negli apprendimenti dei bambini e dei ragazzi. La stessa ricerca scientifica, per i suoi aspetti di esplorazione, scoperta, formulazione di ipotesi e verifica dei risultati, può essere vissuta come una coinvolgente esperienza di gioco. Nel laboratorio proposto gli studenti saranno coinvolti in giochi "carta, matita e gomma", interazione con oggetti "con le mani" e altri giochi analogici (Nim, Dots and Boxes, Hackenbush, Hex, Cubo di Rubik e altri rompicapi matematici). Attraverso il gioco gli studenti saranno invitati a osservare e formulare ipotesi sui principi matematici sottostanti. Successivamente, tali principi verranno esplicitati e approfonditi. Grazie alla comprensione della matematica che regola il gioco, sarà infine possibile tornare a giocare elaborando strategie più efficaci. Le attività offriranno l’occasione di entrare in contatto con temi matematici affascinanti quali strategie vincenti, simmetrie, gruppi di trasformazioni, sistemi numerici, invarianti topologici e altri concetti che costituiscono il cuore del pensiero matematico. Un’esperienza garantita "digital free"!

Stanco di moto rettilineo uniforme, attrito trascurabile, trasformazioni quasistatiche ed esercizi di matematica troppo astratti? Prova l'ebbrezza dei pionieri della corsa allo spazio! Usando il secondo principio della dinamica, un pizzico di termodinamica ed equazioni lineari, studieremo come funziona un razzo, ne costruiremo e ottimizzeremo uno che usa come propellente... l'acqua. Attraverso i metodi della matematica e della fisica scopriremo come equazioni semplici, ragionamento e computer permettano di andare oltre le approssimazioni che si fanno normalmente a scuola, e come l'analisi di dati sperimentali per verificare un modello permetta di scoprire la realtà che ci circonda.

Nota: attività svolta in collaborazione dai CdL di Matematica e di Fisica