Matematica fra scuola e università

Lo scopo di questo corso è di presentare applicazioni della statistica, in particolare della stima per intervalli, ad alcuni problemi concreti. I problemi non saranno volutamente presentati in modo "matematico", perché parte della soluzione consisterà proprio nel modellarli, dando loro una veste matematica. La modellazione consisterà nell'introdurre opportune variabili aleatorie che "descrivono" il problema in questione, consentendo di risolverlo mediante i metodi matematici della statistica quali la suddetta stima per intervalli.

Lo studio delle superfici minime ebbe inizio intorno al 1760, quando Lagrange formulò il problema oggi noto come problema di Plateau e che consiste nel cercare, tra tutte le superfici con bordo fissato, quella con area minima. Le superfici minime, ovvero i punti critici del funzionale area, sono tutt’oggi un tema di ricerca centrale in analisi e in geometria differenziale, le cui applicazioni spaziano in vari settori della fisica, della scienza dei materiali, dell’ingegneria e dell’architettura. In questo minicorso ricaveremo le equazioni delle superfici minime, studieremo alcuni esempi classici, come il catenoide e l’elicoide e descriveremo alcuni dei problemi più interessanti che nel corso dei secoli hanno tenuto vivo l’interesse verso questo argomento. Fra questi, particolare attenzione verrà dedicata al problema di Bernstein.

Si discute il seguente problema inverso, originariamente studiato da Niels Abel: determinare il profilo di uno scivolo nota la dipendenza funzionale fra quota e tempi di arrivo di un punto materiale libero di scivolare sotto l'azione della sola forza di gravità. Tale problema conduce all'introduzione dell'operatore integrale di Abel e del suo inverso; quest'ultimo può essere interpretato come un operatore di derivazione di ordine frazionario.

In occasione del passaggio dal 19mo al 20mo secolo, il grande matematico David Hilbert propose alla comunità matematica 23 problemi, con cui intendeva dare un impulso alla ricerca scientifica nel nuovo secolo. Quasi tutti ad oggi sono stati risolti, in positivo o negativo, a parte qualche notevole eccezione. Il più “sfortunato” di questi problemi fu il terzo, che venne risolto nello stesso anno della sua formulazione da Max Dehn, un allievo dello stesso Hilbert. Questo problema ha le sue radici nella geometria euclidea classica, infatti pone la questione della equiscomponibilità di poliedri della stesso volume. Tuttavia, al di là della “sfortuna” di essere risultato di soluzione abbastanza semplice, il problema è ancora oggi un eccellente esempio del confronto fra matematica “classica” e matematica “moderna”, e per questo motivo lo studieremo in dettaglio.